Question

【题目】已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率e= ，并且经过定点P（ ， ）． （Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足OA⊥OB，若存在求m值，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意：e= = ，且 ， 解得：a=2，b=1，∴椭圆E的方程为
（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）
由题意得 （*）
所以 =
由
得
又方程（*）要有两个不等实根，
m的值符合上面条件，所以
【解析】（Ⅰ）利用椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率e= ，并且经过定点P（ ， ），建立方程，求出a，b，即可求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线y=﹣x+m代入椭圆方程，利用韦达定理，结合 ，即可求m值．