Question

20．已知函数f（x）=kx²+（2k-1）x+k，g（x）=log₂（x+k）（k∈R）
（1）若f（0）=7，求函数g（x）在区间[9，+∞）上的最小值m；
（2）若0＜g（1）≤5，函数f（x）在区间[0，2]上的最小值不小于（1）中的m，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=7，解方程得k=7，然后根据对数函数的单调性进行求解即可．
（2）根据0＜g（1）≤5，求出k的取值范围，利用f（x）在区间[0，2]上的最小值不小于（1）中的m，利用参数分类法进行求解即可．

解答 解：（1）若f（0）=7，则f（0）=k=7，即k=7，
则g（x）=log₂（x+7），则函数在区间[9，+∞）上单调递减，
即函数的最小值m=g（9）=log₂（9+7）=log₂16=4．
（2）若0＜g（1）≤5，则若0＜log₂（1+k）≤5，
则1＜1+k≤32，即0＜k≤31，
当0≤x≤2时，函数f（x）_min≥4，
即f（x）≥4恒成立，
即kx²+（2k-1）x+k=k（x+1）²-x≥4，
∵0≤x≤2，
∴不等式等价为k≥$\frac{4+x}{（x+1）^{2}}$，
设h（x）=$\frac{4+x}{（x+1）^{2}}$，
则h′（x）=$\frac{（x+1）^{2}-（x+4）•2（x+1）}{（x+1）^{4}}$=$\frac{-（x+1）（x+7）}{（x+1）^{4}}$，
当0≤x≤2时，h′（x）＜0恒成立，
即函数h（x）在0≤x≤2上为减函数，
则当x=2时，函数h（x）取得最大值h（2）=$\frac{4+2}{（2+1）^{2}}=\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$，
即$\frac{2}{3}$≤k≤31．

点评 本题主要考查函数最值的应用，利用参数分离法以及函数的单调性是解决本题的关键．构造函数，利用导数研究函数的单调性是个难点．