Question

11．已知定义在R上的函数f（x），对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（Ⅱ）求证：f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）若不等式f（k•2^x）+f（2^x-4^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）取x=y=0即可求得f（0）的值，令y=-x，易得f（x）+f（-x）=0，从而可判断其奇偶性；
（2）设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁）后判断其符号即可证得f（x）为R上的增函数；
（3）因为f（x）在R上为增函数且为奇函数，由此可以将不等式f（k•2^x）+f（2^x-4^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，转化为k•2^x＜-2^x+4^x+2即4^2x-（1+k）2^x+2＞对任意x∈R恒成立，再通过换元进一步转化为二次不等式恒成立的问题即可解出此时的恒成立的条件．

解答 解：（1）取x=y=0得，则f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0；
函数f（x）为奇函数，
证明：已知函数的定义域为R，
取y=-x代入，得f（0）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，于是f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；    
（2）证明：设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
由x₂-x₁＞0知，f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）为R上的增函数．           
（3）∵f（x）在R上为增函数且为奇函数，
由f（k•2^x）+f（2^x-4^x-2）＜0得
f（k•2^x）＜-f（2^x-4^x-2）=f（-2^x+4^x+2）
∴k•2^x＜-2^x+4^x+2即2^2x-（1+k）2^x+2＞对任意x∈R恒成立，
令t=2^x＞0，问题等价于t²-（1+k）t+2＞0，
设f（t）=t²-（1+k）t+2，其对称轴$x=\frac{k+1}{2}$
当$\frac{k+1}{2}＜0$即k＜-1时，f（0）=2＞0，符合题意，
当$\frac{k+1}{2}≥0$即k≥-1时，对任意t＞0，f（t）＞0恒成立，
等价于$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k+1}{2}≥0}\\{△={（1+k）}^{2}-8＜0}\end{array}\right.$解得-1≤k＜-1+2$\sqrt{2}$
综上所述，当k＜-1+2$\sqrt{2}$时，不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，函数奇偶性的判断以及不等式恒成立问题，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．