Question

10．已知函数$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）当$x∈[{0，\frac{2π}{3}}]$时，求函数f（x）的最小值，并求出使y=f（x）取得最小值时相应的x值．

Answer 1

分析 （I）由条件利用正弦函数的周期性求得函数f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅲ）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最小值，以及此时相应的x值．

解答 解：（I）对于函数$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$，它的最小正周期为 $T=\frac{2π}{2}=π$．
（II）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，求得$-\frac{π}{3}+2kπ≤2x≤\frac{2π}{3}+2kπ，k∈Z$，即$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$．
所以 函数f（x）的单调递增区间是$[-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ]$（k∈Z）．
（III）∵$0≤x≤\frac{2π}{3}$，∴$0≤2x≤\frac{4π}{3}$，即 $-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$．
所以函数f（x）的最小值是$-\frac{1}{2}$，此时，$x=0，或x=\frac{2π}{3}$．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．