Question

12．已知函数f（x）=ax²-ax-1（a∈R）．
（1）若对任意实数x，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）＜2x-3．

Answer 1

分析 （1）对a讨论，分a=0，a＜0，判别式小于0；a＞0，解不等式，求交集即可得到所求范围；
（2）先将不等式ax²-（a+2）x+2＜0化为（x-1）（ax-2）＜0，再对参数a的取值范围进行讨论，分类解不等式．

解答 解：（1）对任意实数x，f（x）＜0恒成立，
即有a=0时，-1＜0恒成立；
a＜0时，判别式小于0，即为a²+4a＜0，解得-4＜a＜0；
a＞0时，不等式不恒成立．
综上可得，a的范围是（-4，0]；
（2）由题意可得ax²-（2+a）x+2＜0，
可化为（x-1）（ax-2）＜0，a＞0，
1⁰当0＜a＜2时，∴$\frac{2}{a}$＞1，其解集为（1，$\frac{2}{a}$）；
2⁰当a=2时，即$\frac{2}{a}$=1，其解集为∅，
3⁰当a＞2，即$\frac{2}{a}$＜1，其解集为（$\frac{2}{a}$，1）．

点评 本题考查二次不等式恒成立问题的解法和含参二次不等式的解法，解题的关键是转化和对参数的范围进行分类讨论，分类解不等式，解答此类题时要严谨，避免考虑不完善出错．