Question

5．已知定义在R上函数y=f（x+1）是偶函数，且在[0，+∞）上单调，若数列{a_n}是公差不为0的等差数列，且f（a₆）=f（a₂₀），则{a_n}的前25项之和为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{25}{2}$
• C． 25
• D． 50

Answer 1

分析 定义在R上函数y=f（x+1）是偶函数，可得f（-x+1）=f（x+1），函数f（x）的关于直线x=1对称．根据数列{a_n}是公差不为0的等差数列，f（a₆）=f（a₂₀），在[0，+∞）上单调，可得$\frac{{a}_{6}+{a}_{20}}{2}$=1，再利用等差数列的前n项和公式及其性质即可得出．

解答 解：∵定义在R上函数y=f（x+1）是偶函数，
∴f（-x+1）=f（x+1），
∴函数f（x）的关于直线x=1对称．
∵数列{a_n}是公差不为0的等差数列，f（a₆）=f（a₂₀），在[0，+∞）上单调，
∴a₆＜1＜a₂₅或a₂₅＜1＜a₆，
∴$\frac{{a}_{6}+{a}_{20}}{2}$=1，
∴a₁₃=1．
∴S₂₅=$\frac{25（{a}_{1}+{a}_{25}）}{2}$=25a₁₃=25．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式、函数的奇偶性对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．