Question

10．设集合A={x|x²-4x=0}，集合B={x|x²-2（a+1）x+a²-1=0}．
（1）若A∪B=B，求实数a的值；
（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先化简集合A，再由A∪B=B知A是B的子集，由此求得a的值．
（2）由A∩B=B，知B是A的子集，对集合B进行分类讨论：①若B为空集，②若B为单元集，③若B=A={4，0}，由此求得a的值即可．

解答 解：（1）A={4，0}
∵若A∪B=B，则B?A={4，0}，
∴0和4是方程x²+2（a+1）x+a²-1=0的两根
∴0+4=-2（a+1）=4，0×4=a²-1=0
解得：a=1或a=-1（舍去）
故a=1
（2）若A∩B=B，则
①若B为空集，则△=4（a+1）²-4（a²-1）=8a+8＜0
则a＜-1；
②若B为单元集，则△=4（a+1）²-4（a²-1）=8a+8=0
解得：a=-1，将a=-1代入方程x²+2（a+1）x+a²-1=0得：x²=0得：x=0即B=0符合要求；
③若B=A={4，0}，
即x²+2（a+1）x+a²-1=0的两根分别为4、0，
则有a²-1=0且2（a+1）=-4，
则a=1
综上所述，a≤-1或a=1．

点评 本小题主要考查子集与交集、并集运算的转换、一元二次方程的解等基础知识，考查分类讨论思想、方程思想．属于基础题．