Question

5．设函数f（x）=tan（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）．
（1）求函数的定义域、周期、和单调区间
（2）求不等式f（x）≤$\sqrt{3}$的解集．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正切函数的定义域、周期性和单调性，求得函数的定义域、周期、和单调区间．
（2）不等式即 tan（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）≤$\sqrt{3}$，可得 kπ-$\frac{π}{2}$＜$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$≤kπ+$\frac{π}{3}$，由此求得x的范围，可得结论．

解答 解：（1）根据函数f（x）=tan（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$），可得$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
求得x≠2kπ+$\frac{5π}{3}$，故函数的定义域为{x|x≠2kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z}．
它的周期为$\frac{π}{\frac{1}{2}}$=2π．
令kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$≤kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得2kπ-$\frac{π}{3}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{3}$，
故函数的增区间为（2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{5π}{3}$ ），k∈Z．
（2）求不等式f（x）≤$\sqrt{3}$，即 tan（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）≤$\sqrt{3}$，∴kπ-$\frac{π}{2}$＜$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$≤kπ+$\frac{π}{3}$，
求得2kπ-$\frac{π}{3}$＜x≤2kπ+$\frac{4π}{3}$，故不等式的解集为（2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{4π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查正切函数的定义域、周期性和单调性，正切函数的图象特征，属于中档题．