Question

已知x，y均为正数且x+2y=xy，则（　　）

• A、x+2y+

  9

  xy

  有最小值6
• B、x+2y+

  9

  xy

  有最小值10
• C、x+2y+

  9

  xy-7

  有最小值13
• D、x+2y+

  9

  xy-7

  有最小值17

Answer 1

考点：基本不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由x+2y=xy，得y=

x

x-2

，由x、y为正数知，x＞2，利用基本不等式可求xy的范围，x+2y+

9

xy

=xy+

9

xy

，令t=xy，则t≥8，利用t+

9

t

的单调性可判断A、B的正误；x+2y+

9

xy-7

=xy-7+

9

xy-7

+7，利用基本不等式可求其最小值，判断C、D的正误．

解答： 解：由x+2y=xy，得y=

x

x-2

，
由x、y为正数知，x＞2，
xy=

x2

x-2

=（x-2）+

4

x-2

+4≥2

(x-2)• 4 x-2

+4=8，当且仅当x-2=

4

x-2

，即x=4时取等号，
∴xy的范围是[8，+∞）．
x+2y+

9

xy

=xy+

9

xy

，
令t=xy，则t≥8，t+

9

t

在[8，+∞）单调递增，
∴t+

9

t

的最小值为8+

9

8

=

73

8

．排除A、B；
x+2y+

9

xy-7

=xy-7+

9

xy-7

+7≥2

(xy-7)• 9 xy-7

+7=13，
当且仅当

xy-7= 9 xy-7 x+2y=xy

，即

x=5+ 5 y= 5- 5 2

或

x=5- 5 y= 5+ 5 2

时取等号，
∴x+2y+

9

xy-7

的最小值为13，故C正确，D不正确．
故选C．

点评：该题考查利用基本不等式求函数的最值、函数单调性的运用，属中档题，熟记基本不等式的使用条件是解题关键．