Question

6．已知$\overrightarrow{OA}=（{{{log}_2}cosθ}）\overrightarrow{OB}-（{{{log}_2}sinθ}）\overrightarrow{OC}$，若A，B，C共线，则sinθ+cosθ=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• C． $-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• D． $-\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OA}=（{{{log}_2}cosθ}）\overrightarrow{OB}-（{{{log}_2}sinθ}）\overrightarrow{OC}$，A，B，C共线，可得log₂cosθ-log₂sinθ=1，化简整理再利用平方关系即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}=（{{{log}_2}cosθ}）\overrightarrow{OB}-（{{{log}_2}sinθ}）\overrightarrow{OC}$，A，B，C共线，
∴log₂cosθ-log₂sinθ=1，
化为$\frac{cosθ}{sinθ}$=2，且cosθ＞0，sinθ＞0．
解得：sinθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cosθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
则sinθ+cosθ=$\frac{3}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查了向量共线定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．