Question

18．已知等差数列{a_n}中，a₃=-13，a₅=-11，n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（-1）ⁿ$|\begin{array}{l}{{a}_{n}+1}\end{array}|$（n＜16），求数列{b_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$}的最大值和最小值；
（3）若c_n=a_n+16+$\frac{1}{{（a}_{n}+16）^2}$，记数列{c_n}前n项和为S_n．
求证：$\frac{n^2（n+1）+3n-1}{2n}$≤S_n≤$\frac{6n^3+9n^2+23n-2}{6（2n+1）}$．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=（-1）ⁿ（15-n）．（n＜16）．对分类讨论，利用数列的单调性即可得出．
（3）c_n=n+$\frac{1}{{n}^{2}}$，数列{c_n}前n项和为S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$（1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}）$，当n≥2时，$\frac{1}{{n}^{2}}$≤$\frac{4}{（2n-1）（2n+1）}$=2$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，即可证明不等式右边成立．当n≥2时，2n-2≥n，2n（n-1）≥n²，可得$\frac{1}{{n}^{2}}$≥$\frac{1}{2n（n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．即证明不等式的右边．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=-13，a₅=-11，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=-13}\\{{a}_{1}+4d=-11}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-15}\\{d=1}\end{array}\right.$．
∴a_n=-15+（n-1）=n-16．
（2）b_n=（-1）ⁿ$|\begin{array}{l}{{a}_{n}+1}\end{array}|$=（-1）ⁿ|n-16+1|=（-1）ⁿ（15-n）．（n＜16）．
f（n）=b_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$=（-1）ⁿ（15-n）+$\frac{1}{n-16}$，
对n取2k-1（k∈N^*）时，${b}_{2k-1}+\frac{1}{{a}_{2k-1}}$单调递增，且f（1）=$-14-\frac{1}{15}$=-$\frac{211}{15}$，f（15）=-1；
对n取2k（k∈N^*）时，${b}_{2k}+\frac{1}{{a}_{2k}}$单调递减，且f（2）=13-$\frac{1}{14}$=$\frac{181}{14}$，f（14）=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
∴f（n）的最大值和最小值分别为：$\frac{181}{14}$；$-\frac{211}{15}$．
（3）c_n=a_n+16+$\frac{1}{{（a}_{n}+16）^2}$=n+$\frac{1}{{n}^{2}}$，
数列{c_n}前n项和为S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$（1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}）$，
当n≥2时，$\frac{1}{{n}^{2}}$≤$\frac{4}{（2n-1）（2n+1）}$=2$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴S_n≤$\frac{n（n+1）}{2}$+1+$2[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{n（n+1）}{2}$+1+2$（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}）$≤$\frac{6n^3+9n^2+23n-2}{6（2n+1）}$．
因此不等式右边成立．
当n≥2时，2n-2≥n，∴2n（n-1）≥n²，
$\frac{1}{{n}^{2}}$≥$\frac{1}{2n（n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．
∴S_n≥$\frac{n（n+1）}{2}$+1+$\frac{1}{2}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$=$\frac{n（n+1）}{2}$+1+$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n}）$=$\frac{n（n+1）}{2}+\frac{3n-1}{2n}$≥$\frac{n^2（n+1）+3n-1}{2n}$．
综上可得：$\frac{n^2（n+1）+3n-1}{2n}$≤S_n≤$\frac{6n^3+9n^2+23n-2}{6（2n+1）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、“裂项求和”、不等式的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．