Question

10．若z∈C，|z|=1，复数w=z²-i+1，则|w|的取值范围是[$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1]．

Answer 1

分析 设出复数的三角形式，利用复数的模以及三角函数的最值求解即可．

解答 解：设z=cosα+isinα
所以w=cos2α+isin2α-i+1=（sin2α-1）i+（cos2α+1）
|w|²=（sin2α-1）²+（cos2α+1）²
=3-2sin2α+2cos2α
=3-2$\sqrt{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）∈[3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$]．
所以|w|∈[$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1]．
故答案为：[$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1]．

点评 本题考查复数的三角形式以及三角函数的化简求值，考查计算能力．