Question

5．已知b＞a＞0，则M=$\frac{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}}{ab-{a}^{2}}$的最小值是8．

Answer 1

分析 化简M=$\frac{1+2\frac{b}{a}+（\frac{b}{a}）^{2}}{\frac{b}{a}-1}$，从而令$\frac{b}{a}$=t，t＞1；从而化简M=$\frac{{t}^{2}+2t+1}{t-1}$=（t-1）+$\frac{4}{t-1}$+4，利用基本不等式求最小值．

解答 解：M=$\frac{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}}{ab-{a}^{2}}$=$\frac{1+2\frac{b}{a}+（\frac{b}{a}）^{2}}{\frac{b}{a}-1}$，
令$\frac{b}{a}$=t，由b＞a＞0知t＞1；
故M=$\frac{{t}^{2}+2t+1}{t-1}$=（t-1）+$\frac{4}{t-1}$+4≥8，
（当且仅当t-1=$\frac{4}{t-1}$，即t=3时，等号成立）；
故答案为：8．

点评 本题考查了学生的化简能力及基本不等式的应用．