Question

15．已知sinα=$\frac{2}{3}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$）
求（1）sin2α，cos2α，tan2α的值
（2）sin（α+$\frac{π}{6}$），cos（α+$\frac{π}{3}$），tan（α+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 由已知求出cosα值．
（1）直接展开倍角公式及同角三角函数的基本关系式，代值后得答案；
（2）展开两角和的正弦、余弦和正切公式，代值得答案．

解答 解：∵sinα=$\frac{2}{3}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴cos$α=\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$．
（1）sin2α=2sinαcosα=2×$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$，
cos2α=$1-2si{n}^{2}α=1-2×（\frac{2}{3}）^{2}=\frac{1}{9}$，
tan2α=$\frac{sin2α}{cos2α}=\frac{\frac{4\sqrt{5}}{9}}{\frac{1}{9}}=4\sqrt{5}$；
（2）sin（α+$\frac{π}{6}$）=sinαcos$\frac{π}{6}$+cosαsin$\frac{π}{6}$=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{5}}{3}×\frac{1}{2}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{6}$，
cos（α+$\frac{π}{3}$）=cosαcos$\frac{π}{3}$-sinαsin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}×\frac{1}{2}-\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{5}-2\sqrt{3}}{6}$，
tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα+tan\frac{π}{4}}{1-tanαtan\frac{π}{4}}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}+1}{1-\frac{2\sqrt{5}}{5}}=\frac{9+4\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查了两角和的正弦、余弦和正切公式的应用，是中档题．