Question

5．若抛物线y=-x²-2x+m及y=2x相交于不同的两点A，B．
（1）求m的取值范围；
（2）求|AB|；
（3）求线段AB的中点坐标．

Answer 1

分析 （1）联立抛物线和直线方程得到一元二次方程，根据判别式解出m的范围即可；
（2）根据韦达定理求出两根之和和两根之积，从而求出|AB|的长即可；
（3）根据中点坐标公式求出即可．

解答 解：（1）若抛物线y=-x²-2x+m及y=2x相交于不同的两点A，B，
即方程x²+4x-m=0有2个根，
∴△=16+4m＞0，解得：m＞-4，
（2）设方程x²+4x-m=0的根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=-4，x₁ x₂=-m，
∴|AB|=|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{2x}_{1}x}_{2}}$=$\sqrt{2m+16}$；
（3）由x₁+x₂=-4，得：y₁+y₂=2（x₁+x₂）=-8，
∴$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=-2，$\frac{{y}_{1}{+y}_{2}}{2}$=-4，
∴AB的中点坐标是（-2，-4）．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查韦达定理以及中点坐标公式，是一道基础题．