Question

16．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E在B₁D₁上，且ED₁=2B₁E，AC与BD交于点O．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）求三棱锥O-CED₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明B₁B⊥AC，利用AC⊥BD，即可证明AC⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）利用等体积转化，求三棱锥O-CED₁的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵B₁B⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴B₁B⊥AC，
∵AC⊥BD，BD∩B₁B=B，
∴AC⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）解：∵正方体棱长为1，∴B₁D₁=$\sqrt{2}$，ED₁=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴${S}_{△OE{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}•E{D}_{1}•D{D}_{1}$=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}×1$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∵AC⊥平面BDD₁B₁，
∴CO⊥平面OED₁，
∵CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴三棱锥O-CED₁的体积=三棱锥C-OED₁的体积=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查线面垂直，考查三棱锥O-CED₁的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．