Question

4．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=1-2t}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数，a＞0）．
（Ⅰ）若曲线C₁与曲线C₂有一个公共点在x轴上，求a的值；
（Ⅱ）当a=3时，曲线C₁与曲线C₂交于A，B两点，求A，B两点的距离．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=1-2t}\end{array}\right.$（t为参数），化为：y=3-2x．令y=0可得与x轴的交点．曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数，a＞0）的直角坐标方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．利用y=0可得与x轴的交点．
（II）当a=3时，曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$化为：x²+y²=9．利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线的距离d．利用弦长公式可得|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．

解答 解：（I）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=1-2t}\end{array}\right.$（t为参数），化为：y=3-2x．与x轴的交点为$（\frac{3}{2}，0）$．
曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数，a＞0）的直角坐标方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．与x轴的交点为（±a，0）．
∵a＞0，∴a=$\frac{3}{2}$．
（II）当a=3时，曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$化为：x²+y²=9．
圆心到直线的距离d=$\frac{|3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{9-（\frac{3\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、圆的标准方程及其应用、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．