Question

17．已知函数g（x）=log₂（2x-1），f（x）=log₂（x+2），
（1）求不等式g（x）≥f（x）的解集；
（2）在（1）的条件下求函数y=g（x）+f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可；
（2）先求出y=g（x）+f（x）=${log_2}（2{x^2}+3x-2）$的解析式，令t=2x²+3x-2，通过换元求出t的范围，从而求出y=g（x）+f（x）的值域即可．

解答 解：（1）由g（x）≥f（x）得log₂（2x-1）≥log₂（x+2）则有
$\left\{\begin{array}{l}{x+2＞0}\\{2x-1＞0}\\{2x-1≥x+2}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x＞-2}\\{x＞\frac{1}{2}}\\{x≥3}\end{array}\right.$⇒x≥3
∴不等式g（x）≥f（x）的解集为{x|x≥3}．…（5分）
（2）y=g（x）+f（x）=log₂（2x-1）+log₂（x+2）=log₂（2x-1）（x+2）=${log_2}（2{x^2}+3x-2）$…（7分）
令t=2x²+3x-2，则y=log₂t
由（1）可得{x|x≥3}．，函数t=2x²+3x-2的对称轴为$x=-\frac{3}{4}∉[3，+∞）$，
所以t=3时，t_min=25，即t≥25
又∵log₂x在t∈[25，+∞）上单调递增，∴当x≥3时，y≥log₂25=2log₂5，
∴所求函数的值域为[2log₂5，+∞）．…（12分）

点评 本题考查了对数函数、二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．