Question

15．设函数f（x）=ax³-3ax²+b（a＞0）在区间[1，4]上有最大值23，最小值3，求a，b的值．

Answer 1

分析 对f（x）进行求导，令f′（x）=0，求出极值点，利用导数研究函数的最值问题，同时要验证端点问题，解出a，b．

解答 解：∵f（x）=ax³-3ax²+b，x∈[1，4]，
∴f′（x）=3ax²-6ax=3ax（x-2），a＞0，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在[1，2）递减，在[2，4]递增，
f（x）在x=1或x=4处取最大值，而f（1）=-2a+b，f（4）=16a+b，
f（4）＞f（1），f（x）_max=f（4）=16a+b=23①，
f（x）在x=2处取极小值，也是最小值，f（2）=-4a+b=3②
由①②解得：a=1，b=7．

点评 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，此题逆向思维，已知最大值和最小值确定f（x）的解析式．