Question

2．在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是A₁B₁、B₁C₁的中点．
（1）求三棱锥A₁-AB₁D₁体积；
（2）求异面直线DB₁与EF所成的角．

Answer 1

分析 （1）如图所示，${V}_{{A}_{1}-A{B}_{1}{D}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}×A{A}_{1}}$，即可得出．
（2）建立空间直角坐标系，计算$\overrightarrow{D{B}_{1}}$•$\overrightarrow{EF}$，即可得出．

解答 解：（1）如图所示，
${V}_{{A}_{1}-A{B}_{1}{D}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}×A{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{2}^{2}×2$=$\frac{4}{3}$．
（2）D（0，0，0），B₁（2，2，2），A₁（2，0，2），C₁（0，2，2），E（2，1，2），F（1，2，2）．
∴$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（2，2，2），$\overrightarrow{EF}$=（-1，1，0），
∴$\overrightarrow{D{B}_{1}}$•$\overrightarrow{EF}$=-2+2+0=0．
∴$\overrightarrow{D{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{EF}$，
∴异面直线DB₁与EF所成的角为90°．

点评 本题考查了三棱锥的体积计算公式、异面直线所成的夹角、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．