Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax+b（a，b∈R），在x=2处取得极小值-$\frac{4}{3}$．
（1）求a和b的值；
（2）求函数f（x）在x=0处的切线方程及单调递增区间；
（3）若对任意x₁，x₂∈[-4，3]时，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤m²+m+$\frac{14}{3}$恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由极值点及极小值，可得a，b的值．
（2）由导函数可得切线方程，由导函数为正可得原函数的增区间．
（3）只需确定出x∈[-4，3]时，|f（x₁）-f（x₂）|的最大值即可，由最大值来小于等于右侧即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax+b（a，b∈R），
∴f′（x）=x²+a，
∵f（x）在x=2处取得极小值-$\frac{4}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=-\frac{4}{3}}\\{f′（2）=0}\end{array}\right.$，
∴a=-4，b=4，
（2）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4，
∴f′（x）=x²-4，
f′（0）=-4，
切点为（0，4），
∴切线方程为：y-4=-4x，
即：y=-4x+4，
f′（x）＞0时的解为：x＞2或x＜-2，
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-2）和（2，+∞）．
（3）有（2）知，f（x）在[-4，-2）上是单调递增，在（-2，2）上是单调递减，在（2.3]上是单调递增．
∴f（x）的极大值是f（-2）=$\frac{28}{3}$，极小值是f（2）=-$\frac{4}{3}$，
两个端点值是f（-4）-$\frac{4}{3}$  f（3）=1，
要想对任意x₁，x₂∈[-4，3]时，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤m²+m+$\frac{14}{3}$恒成立，
只需|f（x₁）-f（x₂）|的最大值小于等于m²+m+$\frac{14}{3}$即可，
∴|f（x₁）-f（x₂）|的最大值为f（-2）-f（2）=$\frac{32}{3}$，
∴m²+m+$\frac{14}{3}$≥$\frac{32}{3}$恒成立，
∴m²+m-6≥0，
即（m+3）（m-2）≥0，
∴m≤-3或m≥2．

点评 本题考查函数求导后的导函数极值和由导函数确定单调区间及切线方程问题，最后一问是考查最大值小于等于问题．