Question

6．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，求证S₇，S₁₄-S₇，S₂₁-S₁₄也成等比数列．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q，从而讨论公比以确定前n项和，从而证明．

解答 证明：设等比数列{a_n}的公比为q，
①当q=1时，S₇=7a₁，S₁₄-S₇=7a₁，S₂₁-S₁₄=7a₁，
故显然成立，
②当q≠1时，S₇=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{7}）}{1-q}$，S₁₄-S₇=$\frac{{a}_{8}（1-{q}^{7}）}{1-q}$，S₂₁-S₁₄=$\frac{{a}_{15}（1-{q}^{7}）}{1-q}$，
故$\frac{{S}_{21}-{S}_{14}}{{S}_{14}-{S}_{7}}$=$\frac{{a}_{15}}{{a}_{8}}$=q⁷，$\frac{{S}_{14}-{S}_{7}}{{S}_{7}}$=$\frac{{a}_{8}}{{a}_{1}}$=q⁷；
故S₇，S₁₄-S₇，S₂₁-S₁₄成等比数列；
综上所述，
S₇，S₁₄-S₇，S₂₁-S₁₄成等比数列．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及等比数列前n项和公式的应用．