Question

14．在△ABC中，已知2$\sqrt{3}$asinB=3b，且cosB=cosC，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 由cosB=cosC可得B=C，再由正弦定理和2$\sqrt{3}$asinB=3bA=$\frac{π}{3}$或A=$\frac{2π}{3}$，分类讨论可得．

解答 解：在△ABC中，∵在△ABC中2$\sqrt{3}$asinB=3b，且cosB=cosC，
∴由三角形内角的范围和余弦函数在（0，π）单调递减可得B=C，
再由正弦定理和2$\sqrt{3}$asinB=3b可得2$\sqrt{3}$sinAsinB=3sinB，
约掉sinB可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故A=$\frac{π}{3}$或A=$\frac{2π}{3}$，
当A=$\frac{π}{3}$时，由B=C可得△ABC为等边三角形，
当A=$\frac{2π}{3}$时，由B=C可得△ABC为等腰三角形．

点评 本题考查三角形形状的判断，涉及正弦定理和三角形的边角关系，属基础题．