Question

2．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 把已知的数列递推式变形，可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}构成以1为首项，以$\frac{1}{3}$为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式后可得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$（n∈N^*），得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{3}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}构成以1为首项，以$\frac{1}{3}$为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}=1+\frac{1}{3}（n-1）=\frac{n+2}{3}$，
∴${a}_{n}=\frac{3}{n+2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列的通项公式的求法，是中档题．