Question

13．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．
（1）a₁=a，a_n+1=$\frac{1}{{2-a}_{n}}$；
（2）对一切的n∈N^*，a_n＞0，且2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1．

Answer 1

分析 分别由已知数列递推式求出数列的前4项，然后例归纳猜测可得两个数列的通项公式．

解答 解：（1）∵a₁=a，a_n+1=$\frac{1}{{2-a}_{n}}$，
∴${a}_{2}=\frac{1}{2-{a}_{1}}=\frac{1}{2-a}$，${a}_{3}=\frac{1}{2-{a}_{2}}=\frac{1}{2-\frac{1}{2-a}}=\frac{2-a}{3-2a}$，${a}_{4}=\frac{1}{2-{a}_{3}}=\frac{1}{2-\frac{2-a}{3-2a}}=\frac{3-2a}{4-3a}$，
由数列的前4项归纳${a}_{n}=\frac{（n-1）-（n-2）a}{n-（n-1）a}$；
（2）由a_n＞0，且2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，得$2\sqrt{{a}_{1}}={a}_{1}+1$，解得a₁=1，
$2\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}}={a}_{2}+1$，解得a₂=3，
$2\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}}={a}_{3}+1$，解得a₃=5，
$2\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}}={a}_{4}+1$，解得a₄=7，
由数列的前4项归纳猜测a_n=2n-1．

点评 本题考查数列递推式，考查了由数列的部分项归纳猜测数列的通项公式，是中档题．