【题目】已知函数.
(1)若关于的方程
在区间
上有解,求实数
的取值范围;
(2)若对
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) m的取值范围是;(2)实数a的取值范围是
.
【解析】试题分析:(1)即求函数在区间
上值域,先求导数,再求导函数零点,列表分析导数符号变化规律,确定单调性,进而根据单调性求值域,(2)先参变分离,转化为求对应函数最值:
的最小值,利用二次求导可得函数
单调性,再根据单调性确定其最小值取法,最后根据最小值得实数
的取值范围.
试题解析:(1)方程即为
.
令,则
.
令,则
(舍),
.
当x∈[1, 3]时,随x变化情况如表:
x | 1 | 3 | |||
+ | 0 | - | |||
极大值 |
∴当x∈[1,3]时,.
∴m的取值范围是.
(2)据题意,得对
恒成立.
令,
则.
令,则当x>0时,
,
∴函数在
上递增.
∵,
∴存在唯一的零点c∈(0,1),且当x∈(0,c)时,
;当
时,
.
∴当x∈(0,c)时,;当
时,
.
∴在(0,c)上递减,在
上递增,从而
.
由得
,即
,两边取对数得
,
∴.
∴,即所求实数a的取值范围是
.
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【题目】若函数满足下列条件:在定义域内存在
,使得
成立,则称函数
具有性质
;反之,若
不存在,则称函数
不具有性质
.
(1)已知函数具有性质
,求出对应的
的值;
(2)证明:函数一定不具有性质
;
(3)下列三个函数:,
,
,哪些恒具有性质
,并说明理由
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(1)证明:BE⊥DC;
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(3)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.
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【题目】风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树,记作A,B,P,Q,湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近.欲测量P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离,现可测得A,B两点间的距离为100 m,∠PAB=75°,∠QAB=45°,∠PBA=60°,∠QBA=90°,如图所示.则P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离各为多少?
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【题目】已知直线过定点A,该点也在抛物线
上,若抛物线与圆
有公共点P,且抛物线在P点处的切线与圆C也相切,则圆C上的点到抛物线的准线的距离的最小值为__________.
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【题目】将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮(如图),并沿虚线l1,l2裁剪成A,B,C三个矩形(B,C全等),用来制成一个柱体.现有两种方案:
方案①:以为母线,将A作为圆柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面;
方案②:以为侧棱,将A作为正四棱柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个正方形(各边分别与
或
垂直)作为正四棱柱的两个底面.
(1)设B,C都是正方形,且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面,求底面半径;
(2)设的长为
dm,则当
为多少时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大?
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【题目】已知椭圆的左,右顶点分别为
右焦点为
,直线
是椭圆
在点
处的切线.设点
是椭圆
上异于
的动点,直线
与直线
的交点为
,且当
时,
是等腰三角形.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设椭圆的长轴长等于
,当点
运动时,试判断以
为直径的圆与直线
的位置关系,并加以证明.
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