【题目】已知椭圆的左,右顶点分别为
右焦点为
,直线
是椭圆
在点
处的切线.设点
是椭圆
上异于
的动点,直线
与直线
的交点为
,且当
时,
是等腰三角形.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设椭圆的长轴长等于
,当点
运动时,试判断以
为直径的圆与直线
的位置关系,并加以证明.
【答案】(1)(2)以
为直径的圆与直线
相切.
解:(Ⅰ)根据题意,得直线与
轴垂直,
当
时,
是等腰三角形.
(Ⅱ)以为直径的圆与直线
的位置关系是相切,证明如下:
椭圆C的长轴长等于
,
根据(Ⅰ),得椭圆的标准方程为: ,
设直线的方程为:
,
则点坐标为
,
中点
的坐标为
,
联立方程组,消去
,并整理,得
,
设点的坐标为
,则
因为点,
(ⅰ)当时,点
坐标为
,直线
的方程为
,
点的坐标为
,此时,以
为直径的圆与直线
相切;
(ⅱ)当时,直线
的斜率为
,
直线的方程为:
,
,
点
到直线
的距离为
,
,
以
为直径的圆与直线
相切.
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据题意,结合给定的条件,得到,然后确定其离心率即可;
(Ⅱ)设直线的方程为:
,则点
坐标为
,
中点
的坐标为
,
联立方程组,消去
,并整理,得
,
分情况进行讨论,结合直线与圆相切的条件进行判断即可.
试题解析:(Ⅰ)根据题意,得直线与
轴垂直,
当
时,
是等腰三角形.
(Ⅱ)以为直径的圆与直线
的位置关系是相切,证明如下:
椭圆C的长轴长等于
,
根据(Ⅰ),得椭圆的标准方程为: ,
设直线的方程为:
,
则点坐标为
,
中点
的坐标为
,
联立方程组,消去
,并整理,得
,
设点的坐标为
,则
因为点,
(ⅰ)当时,点
坐标为
,直线
的方程为
,
点的坐标为
,此时,以
为直径的圆与直线
相切;
(ⅱ)当时,直线
的斜率为
,
直线的方程为:
,
,
点
到直线
的距离为
,
,
以
为直径的圆与直线
相切.
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【题目】已知圆.
(1)求圆心C的坐标及半径r的大小;
(2)已知不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴、y轴上的截距相等,求直线l的方程;
(3)从圆外一点向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且
,求点P的轨迹方程.
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【题目】扎比瓦卡是2018年俄罗斯世界杯足球赛吉祥物,该吉祥物以西伯利亚平原狼为蓝本.扎比瓦卡,俄语意为“进球者”.某厂生产“扎比瓦卡”的固定成本为15000元,每生产一件“扎比瓦卡”需要增加投入20元,根据初步测算,每个销售价格满足函数,其中x是“扎比瓦卡”的月产量(每月全部售完).
(1)将利润表示为月产量
的函数;
(2)当月产量为何值时,该厂所获利润最大?最大利润是多少?(总收益=总成本+利润).
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【题目】已知函数f(x)=4cosxsin(x)+a的最大值为2.
(1)求实数a的值;
(2)在给定的直角坐标系上作出函数f(x)在[0,π]上的图象:
(3)求函数f(x)在[,
]上的零点,
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【题目】已知椭圆的两个焦点分别为
,离心率为
,过
的直线
与椭圆
交于
两点,且
的周长为8.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线过点
,且与椭圆
交于
两点,求
面积的最大值.
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【题目】四棱锥中,底面
是边长为
的菱形,侧面
底面
,
,
,
是
中点,点
在侧棱
上.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若是
中点,求二面角
的余弦值;
(Ⅲ)是否存在,使
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是边长为4的菱形,∠BAD=60°,SA=SD=2,点E是棱AD的中点,点F在棱SC上,且
λ,SA//平面BEF.
(1)求实数λ的值;
(2)求三棱锥F﹣EBC的体积.
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