Question

【题目】如图，四边形是矩形，四边形是梯形, ，平面平面， ， 点是的中点.

（1）求证：∥平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：第一问首先应用三角形的中位线的平行性质找到线线平行的关系，之后借助于线面平行的判定定理证得结果；第二问建立适当的空间直角坐标系，借助于平面的法向量所成角的余弦值，求得二面角的余弦值，在最后确定结果时需要判断法向量的方向，是其补角还是其本身.

详解：（1）证明：连结，交于点，∴点是的中点.

∵点是的中点，∴是△的中位线. ∴

∵平面，平面，∴平面

（2）四边形 是梯形，，

又四边形是矩形，，

∵平面平面，平面平面

∴平面

以为原点，以、、分别为、、

轴建立空间直角坐标系，

∴，，，，

∴，，.

设平面的法向量 ，

∴ ， .

即

令，则，.∴可取 .

又是平面的法向量，

∴ 由图可知，二面角为锐角.

∴二面角的余弦值是