Question

5．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点在x轴上，过原点的直线y=-x与抛物线C的交点为A，若P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）为OA的中点，则抛物线C的方程为y²=-x．

Answer 1

分析 先根据题意设出抛物线的标准方程，与直线方程联立消去y，利用韦达定理求得x_O+x_A的表达式，根据OA中点的坐标可求得x_O+x_A，继而p的值可得．

解答 解：设抛物线方程为y²=2px（p≠0），
直线y=-x与抛物线方程联立得x²-2px=0，
∴x_O+x_A=2p，
由中点坐标公式可得，x_O+x_A═2×（-$\frac{1}{2}$）=-1，
∴p=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线C的方程为y²=-x，
故答案为：y²=-x．

点评 本题主要考查了抛物线的标准方程，直线与抛物线的关系．考查了考生基础知识的理解和熟练应用．