Question

13．已知数列{a_n}的前三项依次为-2，2，6，且前n项和S_n是n的不含常数顶的二次函数，则a₁₀₀=394．

Answer 1

分析 根据数列的前n项和达式是n的不含常数顶的二次函数，得到数列{a_n}是等差数列，结合数列{a_n}的前三项-2，2，6，求出等差数列的通项公式得答案．

解答 解：由题意可设${S}_{n}=a{n}^{2}+bn（a≠0）$，
则a₁=S₁=a+b，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（an²+bn）-[a（n-1）²+b（n-1）]=2an-a+b．
验证a₁=a+b适合上式．
∴a_n=2an-a+b．
由a_n+1-a_n=2a（n+1）-a+b-2an+a-b=2a为常数．
∴数列{a_n}是等差数列．
又∵数列{a_n}的前三项依次为-2，2，6，
∴数列的首项为-2，公差为4，
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=4n-6，
∴a₁₀₀=394．
故答案为：394．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差数列的通项公式与前n项和的表达式，是中档题．