Question

18．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=bcos（A+B），则tan（A+$\frac{π}{4}$）的最大值为$\frac{9+4\sqrt{2}}{7}$．

Answer 1

分析 a=bcos（A+B）=-bcosC，可得sinA=-sinBcosC，C为钝角，化为tanC=-2tanB．由上面可得：A，B为锐角，tanB＞0，tanA＞0．可得tanA=-tan（B+C）=$\frac{tanB}{1+2ta{n}^{2}B}$，利用基本不等式的性质即可得出tanA的范围．tan（A+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2}{1-tanA}$-1，即可得出最大值．

解答 解：∵a=bcos（A+B）=-bcosC，
∴sinA=-sinBcosC，C为钝角．
∴sin（B+C）+sinBcosC=0，
化为tanC=-2tanB．
由上面可得：A，B为锐角，tanB＞0，tanA＞0．
∴tanA=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=$\frac{tanB}{1+2ta{n}^{2}B}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanB}+2tanB}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，当且仅当tanB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
1-tanA≥$1-\frac{1}{2\sqrt{2}}$，
则tan（A+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanA+1}{1-tanA}$=$\frac{2}{1-tanA}$-1≤$\frac{2}{1-\frac{1}{2\sqrt{2}}}$-1=$\frac{9+4\sqrt{2}}{7}$．
∴tan（A+$\frac{π}{4}$）的最大值为$\frac{9+4\sqrt{2}}{7}$．
故答案为：$\frac{9+4\sqrt{2}}{7}$．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．