Question

2．函数f（x）=2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$，x∈（0，5]的最小值是3．

Answer 1

分析 由x的范围得$\sqrt{x}$∈（0，$\sqrt{5}$]，$\frac{1}{x}$≥$\frac{\sqrt{5}}{5}$，可得f（x）=2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$=$\sqrt{x}$+$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$，运用三元基本不等式即可得到最小值．

解答 解：由x∈（0，5]，可得$\sqrt{x}$∈（0，$\sqrt{5}$]，
$\frac{1}{x}$≥$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
即有f（x）=2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$=$\sqrt{x}$+$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$≥3$\root{3}{\sqrt{x}•\sqrt{x}•\frac{1}{x}}$=3，
当且仅当$\sqrt{x}$=$\frac{1}{x}$，即x=1时，取得最小值3．
故答案为：3．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，属于基础题．