Question

16．焦点在x轴上的椭圆C，过点P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），且与直线l：y=x+$\sqrt{3}$交于A、B两点，若三角形PAB的面积为2，则C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1a＞b＞0，则$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$=1．把直线方程和椭圆的方程联立方程组，转化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理、弦长公式求出弦长AB以及点P到直线的距离d，再由△PAB的面积为S=$\frac{1}{2}$AB•d=2，求出a²、b²的值，从而得到所求椭圆的方程．

解答 解：设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞b＞0，
∵椭圆C过点P，∴$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$=1．
由直线l：y=x+$\sqrt{3}$代入椭圆方程，消去y求得b²x²+4$\sqrt{3}$x+6-2b²=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4\sqrt{3}}{{b}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{6-2{b}^{2}}{{b}^{2}}$．
可得AB=$\sqrt{2}$|x₂-x₁|=$\frac{\sqrt{2}}{{b}^{2}}$•$\sqrt{8{b}^{4}-24{b}^{2}+48}$．
由于点P（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$）到直线l：y=x+$\sqrt{3}$的距离d=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$，
△PAB的面积为S=$\frac{1}{2}$•AB•d=2，可得 b⁴-9b²+18=0，解得b²=3，或b²=6，
当b²=6时，由$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$=1求得a²=3，不满足题意；
当b²=3时，由$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$=1求得a²=6，满足题意，故所求的椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．