Question

8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[0，2π]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得g（x）在[0，2π]上的值域．

解答 解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，
可得A=2，$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$，∴ω=2．
再根据五点法作图可得2•$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后，可得y=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）x+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x-$\frac{π}{6}$） 的图象；
再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$） 的图象．
∵x∈[0，2π]，∴$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，∴sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，即y=g（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的增区间，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．