Question

13．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直线y=x被椭圆C截得的线段长为$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$．
（ I）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）直线l是圆O：x²+y²=r²的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）分类讨论当斜率不存在时，设x=-r，代入椭圆方程求得A、B点坐标，以AB为直径的圆恒过原点，$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，利用向量数量积的坐标，求得r²，求得丨AB丨；
当斜率不存在时，设出直线方程，将直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，及向量垂直，求得圆的方程，进而表达出丨AB丨，综上即可求得丨AB丨的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），a²=b²+c²，
∵$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴a²=2c²，
∴a²=2b²，
设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，
又∵弦长为$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$，
∴$P（\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}）$，
∴$\frac{8}{{3{a^2}}}+\frac{8}{{3{b^2}}}=1$，
又a²=2b²，
解得a²=8，b²=4，∴椭圆方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．
（Ⅱ）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=-r），代入椭圆方程得：y=±$\root{\sqrt{（\;\;\;\;）}{2}}$
∴A（r，$\sqrt{\frac{8-{r}^{2}}{2}}$），B（r，-$\sqrt{\frac{8-{r}^{2}}{2}}$），
∵以AB为直径的圆恒过原点，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
∴r²-$\frac{8-r2}{2}$=0，
∴r²=$\frac{8}{3}$，
∴圆O的方程为x²+y²=$\frac{8}{3}$，
此时|AB|=2$\sqrt{\frac{8-{r}^{2}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$（同理当x=-r时，上述结论仍然成立），
（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，
∵l与圆O相切
∴$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=r，即m²=（1+k²）r²，
将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，①
△=8k²+4-m²＞0，②
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程①的两个解，由韦达定理得：
x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∵以AB为直径的圆恒过原点，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，
∴3m²-8-8k²=0，3m²=8（1+k²），
又∵m²=（1+k²）r²，
∴3（1+k²）r²=8（1+k²），
∴r²=$\frac{8}{3}$，
此时m²=$\frac{8}{3}$（1+k²），代入②式后成立，
∴圆O的方程为x²+y²=$\frac{8}{3}$，
此时|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}}$，
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{2}}{2{k}^{2}+1}$•$\sqrt{8{k}^{2}+4-{m}^{2}}$，
=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}+1}}{1+2{k}^{2}}$，
=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$•$\frac{\sqrt{4{k}^{4}+5{k}^{2}+1}}{1+2{k}^{2}}$，
=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$•$\sqrt{\frac{4{k}^{4}+5{k}^{2}+1}{4{k}^{4}+4{k}^{2}+1}}$，
=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$•$\sqrt{1+\frac{{k}^{2}}{4{k}^{4}+4{k}^{2}+1}}$；
（i）若k=0，则|AB|=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
（ii）若k≠0，则|AB|=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$•$\sqrt{1+\frac{1}{4{k}^{2}+4+\frac{1}{{k}^{2}}}}$∈（$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，2$\sqrt{3}$]，
综上，圆O的方程为x²+y²=$\frac{8}{3}$，|AB|的取值范围是[$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，2$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是难题．