【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AC=2 ,AA1=
,AB=2,点D在棱B1C1上,且B1C1=4B1D (Ⅰ)求证:BD⊥A1C
(Ⅱ)求二面角B﹣A1D﹣C的大小.
【答案】证明:(Ⅰ)分别以AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系, ∵AC=2 ,AA1=
,AB=2,点D在棱B1C1上,且B1C1=4B1D,
∴B(2,0,0),C(0, ,0),A1(0,0,
),D(
,
,
).
则 ,
,
∴ .
∴BD⊥A1C;
(Ⅱ)解:设平面BDA1的一个法向量为 ,
,
,
∴ ,取z=2,则
;
设平面A1DC的一个法向量为 ,
,
,
∴ ,取y=1,得
.
∴cos< >=
=
.
∴二面角B﹣A1D﹣C的大小为arccos .
【解析】(Ⅰ)分别以AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,由已知得到所用点的坐标,求得 的坐标,由两向量的数量积为0说明BD⊥A1C;(Ⅱ)分别求出平面BDA1与平面A1DC的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣C的大小.
【考点精析】通过灵活运用空间中直线与直线之间的位置关系,掌握相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点即可以解答此题.
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【题目】已知数列{an}是等差数列,{bn}是各项均为正数的等比数列,满足a1=b1=1,b2﹣a3=2b3 , a3﹣2b2=﹣1
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式
(2)设cn=an+bn , n∈N* , 求数列{cn}的前n项和Sn .
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【题目】为了得到函数 的图象,只需把y=3sin2x上的所有的点( )
A.向左平行移动 长度单位
B.向右平行移动 长度单位
C.向右平行移动 长度单位
D.向左平行移动 长度单位
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【题目】平面内到定点F(0,1)和定直线l:y=﹣1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C,关于曲线C的几何性质,给出下列四个结论: ①曲线C的方程为x2=4y;
②曲线C关于y轴对称
③若点P(x,y)在曲线C上,则|y|≤2;
④若点P在曲线C上,则1≤|PF|≤4
其中,所有正确结论的序号是 .
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【题目】已知双曲线 =1(a>0,b>0)的离心率为
,过左焦点F1(﹣c,0)作圆x2+y2=a2的切线,切点为E,延长F1E交抛物线y2=4cx于P,Q两点,则|PE|+|QE|的值为( )
A.
B.10a
C.
D.
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【题目】函数y=log cos(
﹣2x)的递增区间是 ( )
A.[﹣ +kπ,
+kπ](k∈Z)
B.[﹣ +kπ,kπ)(k∈Z)
C.[ +kπ,
+kπ](k∈Z)
D.[ +kπ,
+kπ)(k∈Z)
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【题目】如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.
(1)求这一天的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
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