Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AC=2 ，AA1= ，AB=2，点D在棱B1C1上，且B1C1=4B1D （Ⅰ）求证：BD⊥A1C
（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣C的大小．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）分别以AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， ∵AC=2 ，AA1= ，AB=2，点D在棱B1C1上，且B1C1=4B1D，
∴B（2，0，0），C（0， ，0），A1（0，0， ），D（ ， ， ）．
则 ， ，
∴ ．
∴BD⊥A1C；
（Ⅱ）解：设平面BDA1的一个法向量为 ， ， ，
∴ ，取z=2，则 ；
设平面A1DC的一个法向量为 ， ， ，
∴ ，取y=1，得 ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴二面角B﹣A1D﹣C的大小为arccos ．

【解析】（Ⅰ）分别以AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由已知得到所用点的坐标，求得 的坐标，由两向量的数量积为0说明BD⊥A1C；（Ⅱ）分别求出平面BDA1与平面A1DC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣C的大小．
【考点精析】通过灵活运用空间中直线与直线之间的位置关系，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点即可以解答此题．