【题目】如图1,在边长为3的正三角形中, ,
,
分别为
,
,
上的点,且满足
.将
沿
折起到
的位置,使平面
平面
,连结
,
,
.(如图2)
(Ⅰ)若为
中点,求证:
平面
;
(Ⅱ)求证: ;
(Ⅲ)求与平面
所成角的正切.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【解析】试题分析:(Ⅰ)取中点
,连结
,
.由三角中位线可证四边形
为平行四边形,则
,再由线线平行到线面平行;(Ⅱ)取
中点
,连结
,由所给数据可证平面
平面
,再由面面垂直,线面垂直的性质可得
;(Ⅲ)作
于
,连接
,则
,可得
为
与平面
所成角,可求其正切值.
试题解析:证明:(Ⅰ)取中点
,连结
,
.
在中,
,
分别为
,
的中点,
所以,且
.
因为,
所以,且
,
所以,
.
所以四边形为平行四边形.
所以.
又因为平面
,且
平面
,所以
平面
.
(Ⅱ)取中点
,连结
.
因为,
,
∴,
而,即
是正三角形.
又因为,所以
.
所以在图2有.
因为平面平面
,平面
平面
所以
平面
由
平面
所以
(Ⅲ)作于
,连接
,则
因为,
,
,因此
平面
,
因此平面
,因此
是
在平面
内的射影,
因此为
与平面
所成角,
,
,
中,
,于是
因此,
因此与平面
所成角的正切为
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【题目】如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1 , E,F分别是AB,BC的中点.
(1)求证:EF∥平面A1BC1;
(2)求证:平面D1DBB1⊥平面A1BC1 .
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【题目】2016年高一新生入学后,为了了解新生学业水平,某区对新生进行了水平测试,随机抽取了50名新生的成绩,其相关数据统计如下:
分数段 | 频数 | 选择题得分24分以上(含24分) |
5 | 2 | |
10 | 4 | |
15 | 12 | |
10 | 6 | |
5 | 4 | |
5 | 5 |
(Ⅰ)若从分数在,
的被调查的新生中各随机选取2人进行追踪调查,求恰好有2名新生选择题得分不足24分的概率;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,记选中的4名新生中选择题得分不足24分的人数为,求随机变量
的分布列和数学期望.
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【题目】有两个袋子,其中甲袋中装有编号分别为1、2、3、4的4个完全相同的球,乙袋中装有编号分别为2、4、6的3个完全相同的球.
(Ⅰ)从甲、乙袋子中各取一个球,求两球编号之和小于8的概率;
(Ⅱ)从甲袋中取2个球,从乙袋中取一个球,求所取出的3个球中含有编号为2的球的概率.
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【题目】已知三角形ABC的顶点坐标为A(﹣1,5)、B(﹣2,﹣1)、C(4,3).
(1)求AB边上的高线所在的直线方程;
(2)求三角形ABC的面积.
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【题目】如图所示,该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成,AD⊥AF,AE=AD=2.
(Ⅰ)证明:平面PAD⊥平面ABFE;
(Ⅱ)求正四棱锥P﹣ABCD的高h,使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是 .
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【题目】某市规定,高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格.某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据,按时间段[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100](单位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示.
(1)求抽取的20人中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数;
(2)从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人,求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率.
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【题目】微信运动和运动手环的普及,增强了人民运动的积极性,每天一万步称为一种健康时尚,某中学在全校范围内内积极倡导和督促师生开展“每天一万步”活动,经过几个月的扎实落地工作后,学校想了解全校师生每天一万步的情况,学校界定一人一天走路不足千步为不健康生活方式,不少于
千步为超健康生活方式者,其他为一般生活方式者,学校委托数学组调查,数学组采用分层抽样的办法去估计全校师生的情况,结合实际及便于分层抽样,认定全校教师人数为
人,高一学生人数为
人,高二学生人数
人,高三学生人数
,从中抽取
人作为调查对象,得到了如图所示的这
人的频率分布直方图,这
人中有
人被学校界定为不健康生活方式者.
(1)求这次作为抽样调查对象的教师人数;
(2)根据频率分布直方图估算全校师生每人一天走路步数的中位数(四舍五入精确到整数步);
(3)校办公室欲从全校师生中速记抽取人作为“每天一万步”活动的慰问对象,计划学校界定不健康生活方式者鞭策性精神鼓励
元,超健康生活方式者表彰奖励
元,一般生活方式者鼓励性奖励
元,利用样本估计总体,将频率视为概率,求这次校办公室慰问奖励金额恰好为
元的概率.
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