Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=

1

4

，a_n+1=S_n+

t

16

（n∈N^*，t为常数）．
（1）若数列{a_n}为等比数列，求t的值；
（2）若t＞-4，b_n=lga_n+1，数列{b_n}前n项和为T_n，当且仅当n=6时T_n取最小值，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a_n+1=2a_n，n≥2，由此能证明{a_n}是等比数列，由a2=S1+

t

16

=

4+t

16

，a₁=

1

4

，解得t=4．
（2）由已知条件得an+1=

4+t

16

•2n-1，n∈N^*．数列{b_n}是等差数列，b₆＜0且b₇＞0，由此能求出实数t的取值范围．

解答： 解：（1）∵an+1=Sn+

t

16

，①
∴an=Sn-1+

t

16

，②
①-②，得a_n+1=2a_n，n≥2，
∵a₁=

1

4

，∴{a_n}为首项是

1

4

，公比为2的等比数列，
∵a2=S1+

t

16

=

4+t

16

，
∴

4+t

4

=2，解得t=4．
（2）a2=

4+t

16

，a_n+1=2a_n，n＞1，
∴an+1=

4+t

16

•2n-1，n∈N^*．
∵a₂，a₃，a₄，…，a_n+1成等比数列，b_n=lga_n+1，
∴数列{b_n}是等差数列，
∵数列{b_n}前n项和为T_n，当且仅当n=6时，T_n取最小值，
∴b₆＜0且b₇＞0…（10分）
解得0＜a₇＜1且a₈＞1，…
∴0＜8+2t＜1且16+2t＞1，
∴-

15

4

＜t＜-

7

2

…（12分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查实数取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的灵活运用．