Question

15．某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：

员工编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
年薪（万元）	4	4.5	6	5	6.5	7.5	8	8.5	9	51

（1）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；
（2）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？
附：线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$中系数计算公式分别为：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$为样本均值．

Answer 1

分析 （1）ξ取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和期望；
（2）利用最小二乘法，求出线性回归方程，根据回归方程预测．

解答 解：（1）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；则ξ取值为0，1，2．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{9}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{5}{9}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$，
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{5}{9}$	$\frac{2}{9}$

数学期望为E（ξ）=0×$\frac{2}{9}$+1×$\frac{5}{9}$+2×$\frac{2}{9}$=1．
（2）设x_i，y_i（i=1，2，3，4）分别表示工作年限及相应年薪，
则$\overline{x}$=2.5，$\overline{y}$=6，
$\sum_{i=1}^{4}$（x_i-$\overline{x}$）²=2.25+0.25+0.25+2.25=5，$\sum_{i=1}^{4}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=-1.5×（-2）+（-0.5）×（-0.5）+0.5×0+1.5×2.5=7，
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=1.4，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=6-1.4×2.5=2.5，
∴线性回归方程：y=1.4x+2.5．
当x=5时，y=1.4×5+2.5=9.5，
可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元．

点评 本题考查了古典概型的概率计算，求ξ的分布列和期望，线性回归方程的解法及应用，考查计算能力，属于中档题．