Question

6．已知函数f（x）=xe^cosx（e为自然对数的底数），当x∈[-π，π]时，y=f（x）的图象大致是，（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 判断f（x）的奇偶性和单调性，即可得出答案．

解答 解：∵f（-x）=-xe^cos（-x）=-xe^cosx=-f（x），
∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；
∵f′（x）=e^cosx+xe^cosx•（-sinx）=e^cosx（1-xsinx），
令1-xsinx=0得sinx=$\frac{1}{x}$，
作出y=sinx和y=$\frac{1}{x}$的函数图象可知两图象在（0，π）上存在一个交点（x₀，y₀），
当0＜x＜x₀时，1-xsinx＞0，当x₀＜x＜π时，1-xsinx＜0，
∴f（x）在（0，π）先增后减，
故选B．

点评 本题考查了函数奇偶性，单调性的判断，导数与函数单调性的关系，属于中档题．