Question

10．已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且a₂=2，S₆=21
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令${b_n}=\frac{1}{{（n+1）{a_n}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂=2，S₆=21，可得a₁+d=2，6a₁+$\frac{6×5}{2}$d=21，
联立解得a₁，d即可得出．
（2）${b_n}=\frac{1}{{（n+1）{a_n}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₂=2，S₆=21，∴a₁+d=2，6a₁+$\frac{6×5}{2}$d=21，
联立解得a₁=d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）${b_n}=\frac{1}{{（n+1）{a_n}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．