Question

2．若函数f（x）=log₂（x²-2ax+1+a）在（-∞，1]上递减，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [1，2）
• B． （1，2）
• C． [1，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 由外函数对数函数是增函数，可得要使函数f（x）=log₂（x²-2ax+1+a）在（-∞，1]上递减，需内函数二次函数的对称轴大于等于1，且内函数在（-∞，1]上的最小值大于0，由此联立不等式组求解．

解答 解：令g（x）=x²-2ax+1+a，其对称轴方程为x=a，
外函数对数函数是增函数，
要使函数f（x）=log₂（x²-2ax+1+a）在（-∞，1]上递减，
则$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{g（1）=1-2a+1+a＞0}\end{array}\right.$，即：1≤a＜2．
∴实数a的取值范围是[1，2）．
故选：A．

点评 本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．