Question

12．设等差数列{a_n}满足$\frac{{{{sin}^2}{a_4}{{cos}^2}{a_7}-{{sin}^2}{a_7}{{cos}^2}{a_4}}}{{sin（{a_5}+{a_6}）}}=1$，公差d∈（-1，0），当且仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，求该数列首项a₁的取值范围（　　）

• A． $（\frac{7π}{6}，\frac{4π}{3}）$
• B． [$\frac{7π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]
• C． （$\frac{4π}{3}$，$\frac{3π}{2}$）
• D． f（x）

Answer 1

分析 由已知条件推导出sin（a₄-a₇）=1，或sin（a₄+a₇）=0，由仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，推导出8.5＜-$\frac{{a}_{1}-\frac{d}{2}}{2×\frac{d}{2}}$＜9.5，由此能求出该数列首项a₁的取值范围．

解答 解：∵等差数列{a_n}满足$\frac{{{{sin}^2}{a_4}{{cos}^2}{a_7}-{{sin}^2}{a_7}{{cos}^2}{a_4}}}{{sin（{a_5}+{a_6}）}}=1$，
∴（sina₄cosa₇-sina₇cosa₄）（sina₄cosa₇+sina₇cosa₄）
=sin（a₅+a₆）=sin（a₄+a₇）=sina₄cosa₇+sina₇cosa₄，
∴sina₄cosa₇-sina₇cosa₄=1，或sina₄cosa₇+sina₇cosa₄=0
即sin（a₄-a₇）=1，或sin（a₄+a₇）=0（舍）
当sin（a₄-a₇）=1时，
∵a₄-a₇=-3d∈（0，3），a₄-a₇=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴-3d=2kπ+$\frac{π}{2}$，d=-$\frac{π}{6}$-$\frac{2k}{3}$π．
∴d=-$\frac{π}{6}$
∵S_n=na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$=$\frac{d}{2}$n²+（a₁-$\frac{d}{2}$）n，
且仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，
∴8.5＜-$\frac{{a}_{1}-\frac{d}{2}}{2×\frac{d}{2}}$＜9.5，
∴$\frac{4}{3}$π＜a₁＜$\frac{3π}{2}$
故选：C

点评 本题综合考查了等差数列的通项公式及其性质、三角函数的平方关系和倍角公式、特殊角的三角函数等基础知识与基本技能方法，属于难题．