Question

3．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=6cosC$，则$\frac{c^2}{{{a^2}+{b^2}}}$的值是$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理，化简已知等式，整理即可得解．

解答 解：∵$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=6cosC$，
∴$\frac{{b}^{2}+{a}^{2}}{ab}$=6×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，整理可得：3c²=2（a²+b²），
∴$\frac{c^2}{{{a^2}+{b^2}}}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．