Question

18．如图所示，在四面体VABC木块中，P为△VAC的重心，这点P作截面EFGH，若截面EFGH是平行四边形，则该截面把木块分成两部分体积之比为$\frac{7}{20}$． （埴体积小与体积大之比）

Answer 1

分析 由已知可得EH∥AC∥FG，且VH：VC=VE：VA=EH：AC=2：3，连接VF、VG、AG、AH，则多面体EFGHVB的体积等于四棱锥V-EFGH的体积与三棱锥V-BFG的体积和，多面体EFGHAC的体积等于四棱锥A-EFGH的体积与三棱锥H-AGC的体积和．找出各多面体体积的关系得答案．

解答 解：如图，∵四边形EFGH为平行四边形，∴EH=FG，且EH∥FG，
∴EH∥平面ABC，又EH?平面VAC，平面VAC∩平面ABC=AC，
∴EH∥AC，则EH∥AC∥FG，
∵P为△VAC的中心，∴VH：VC=VE：VA=EH：AC=2：3，
而EH=FG，
∴BF：BA=BG：BC=FG：AC=2：3．
连接VF、VG、AG、AH，
则多面体EFGHVB的体积等于四棱锥V-EFGH的体积与三棱锥V-BFG的体积和，
多面体EFGHAC的体积等于四棱锥A-EFGH的体积与三棱锥H-AGC的体积和．
∵四棱锥V-EFGH的高是四棱锥A-EFGH的高的2倍，底面积相等，
∴四棱锥V-EFGH的体积是四棱锥A-EFGH的体积的2倍；
∵三棱锥V-BFG的底面积是三棱锥H-AGC的底面积的$\frac{4}{3}$倍，高是3倍，
∴三棱锥V-BFG的体积是三棱锥H-AGC的体积的4倍．
设棱锥H-AGC的体积为V₁，则三棱锥H-AFG的体积为$\frac{2}{3}{V}_{1}$，有四棱锥A-EFGH的体积是$\frac{4}{3}{V}_{1}$．
∴多面体EFGHAC的体积等于$\frac{7}{3}{V}_{1}$，多面体EFGHVB的体积等于$4{V}_{1}+\frac{8}{3}{V}_{1}=\frac{20}{3}{V}_{1}$，
∴多面体EFGHAC的体积与多面体EFGHVB的体积比等于$\frac{7}{20}$．
故答案为：$\frac{7}{20}$．

点评 本题考查棱锥的结构特征，几何体的体积，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．