【题目】已知等差数列中,公差
,其前
项和为
,且满足:
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)通过公式构造一个新的数列
.若
也是等差数列,求非零常数
;
(Ⅲ)求的最大值.
【答案】(I);(II)
;(III)
【解析】
试题
(1)由等差数列的性质可得a2+a3=14,解方程组可得a2=5,a3=9,于是可求得首项和公差,从而可得通项公式.(2)由题意得Sn=2n2-n,故,根据数列为等差数列可得2b2=b1+b3,计算可得
.经验证可得
满足题意.(3)由(2)可得
,故可根据基本不等式求最值.
试题解析:
(1)∵数列{an}是等差数列.
∴a2+a3=a1+a4=14,
由,解得
或
.
∵公差d>0,
∴a2=5,a3=9.
∴d=a3-a2=4,a1=a2-d=1.
∴.
(2)∵Sn=na1+n(n-1)d=n+2n(n-1)=2n2-n,
∴.
∵数列{bn}是等差数列,
∴2b2=b1+b3,
∴2·=
+
,
解得 (c=0舍去).
∴.
显然{bn}成等差数列,符合题意,
∴.
(3)由(2)可得
,当且仅当
,即
时等号成立.
∴f(n)的最大值为.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,E,M分别是AD,PD的中点,PE⊥BE,PA=PD=AD=2,AB=.
(1)求证:PB∥平面MAC.
(2)求证:平面MAC⊥平面PBE.
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【题目】交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A.101
B.808
C.1212
D.2012
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【题目】已知等比数列的前
项和为
,公比
,
,
.
(1)求等比数列的通项公式;
(2)设,求
的前
项和
.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)将已知两式作差,利用等比数列的通项公式,可得公比,由等比数列的求和可得首项,进而得到所求通项公式;(2)求得bn=n,,由裂项相消求和可得答案.
(1)等比数列的前
项和为
,公比
,
①,
②.
②﹣①,得,则
,
又,所以
,
因为,所以
,
所以,
所以;
(2),
所以前项和
.
【点睛】
裂项相消法适用于形如(其中
是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和,还有一类隔一项的裂项求和,如
或
.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】已知函数的图象上有两点
,
.函数
满足
,且
.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)能否保证和
中至少有一个为正数?请证明你的结论.
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【题目】某险种的基本保费为(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:
上年度出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
保费 |
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
一年内出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
概率 | 0.30 | 0.15 | 0.20 | 0.20 | 0.10 | 0.05 |
(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出的概率;
(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
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【题目】给出下列两个命题:命题p1:a,b∈(0,+∞),当a+b=1时, +
=4;命题p2:函数y=ln
是偶函数.则下列命题是真命题的是( )
A.p1∧p2
B.p1∧(¬p2)
C.(¬p1)∨p2
D.(¬p1)∨(¬p2)
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【题目】在一段时间内,分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
价格x | 1.4 | 1.6 | 1.8 | 2 | 2.2 |
需求量y | 12 | 10 | 7 | 5 | 3 |
已知,
(1)画出散点图;
(2)求出y对x的线性回归方程;
(3)如价格定为1.9万元,预测需求量大约是多少?(精确到0.01 t).
参考公式:
.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°,AC∩BD=O,点P在底面的射影为点O,PO=3,点E为线段PD中点.
(1)求证:PB∥平面AEC;
(2)若点F为侧棱PA上的一点,当PA⊥平面BDF时,试确定点F的位置,并求出此时几何体F﹣BDC的体积.
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【题目】某颜料公司生产A,B两种产品,其中生产每吨A产品,需要甲染料1吨,乙染料4吨,丙染料2吨,生产每吨B产品,需要甲染料1吨,乙染料0吨,丙染料5吨,且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨,如果A产品的利润为300元/吨,B产品的利润为200元/吨,则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为 .
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