Question

11．已知抛物线的方程是y²=2px（p＞0），其焦点是F，△ABC的顶点都在抛物线上，直线AB，AC，BC斜率存在且满足$\overrightarrow{F{A}}+\overrightarrow{F{B}}+\overrightarrow{FC}$=$\vec 0$，则$\frac{1}{{{k_{{A}{B}}}}}+\frac{1}{{{k_{{B}C}}}}+\frac{1}{{{k_{C{A}}}}}$=0．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，可得△ABC的重心是F，从而y₁+y₂+y₃=0，利用斜率公式，即可求得结论．

解答 解：设A、B、C三点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），
且x₁=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，x₂=$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，x₃=$\frac{{{y}_{3}}^{2}}{2p}$．
则∵$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴△ABC的重心是F，
∵抛物线y²=2px的焦点F的坐标为F（$\frac{p}{2}$，0），
∴y₁+y₂+y₃=0，
∴$\frac{1}{{{k_{{A}{B}}}}}+\frac{1}{{{k_{{B}C}}}}+\frac{1}{{{k_{C{A}}}}}$=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{2p}$+$\frac{{y}_{2}+{y}_{3}}{2p}$+$\frac{{y}_{1}+{y}_{3}}{2p}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}}{p}$=0．
故答案为：0

点评 本题主要考查抛物线的性质，同时考查向量知识的运用，运用斜率公式和三角形的重心是解题的关键，属于中档题．