Question

3．已知三个正数a，b，c满足a≤b+c≤3a，3b²≤a（a+c）≤5b²，则$\frac{b-2c}{a}$的最小值是-$\frac{18}{5}$．

Answer 1

分析 将不等式组进行转化，设$\frac{b}{a}$=x，$\frac{c}{a}$=y，利用线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：不等式a≤b+c≤3a，3b²≤a（a+c）≤5b²，
等价为1≤$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$≤3，3（$\frac{b}{a}$）²≤1+$\frac{c}{a}$≤5（$\frac{b}{a}$）²，
设$\frac{b}{a}$=x，$\frac{c}{a}$=y，
则不等式等价为$\left\{\begin{array}{l}{1≤x+y≤3}\\{3{x}^{2}≤1+y≤5{x}^{2}}\\{x＞0，y＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥3}\\{x+y≤1}\\{y≤5{x}^{2}-1}\\{y≥3{x}^{2}-1}\\{x＞0，y＞0}\end{array}\right.$，则$\frac{b-2c}{a}$=$\frac{b}{a}$-2•$\frac{c}{a}$=x-2y，
设z=x-2y，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x-2y得y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
平移直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
由图象可知当直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，过点A时，直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$的截距最大，此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{y=5{x}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得x=-1（舍）或x=$\frac{4}{5}$，
此时y=3-x=3-$\frac{4}{5}$=$\frac{11}{5}$，
即A（$\frac{4}{5}$，$\frac{11}{5}$）
代入目标函数z=x-2y，
得z=$\frac{4}{5}$-2×$\frac{11}{5}$=-$\frac{18}{5}$
∴目标函数z=x-2y的最小值是-$\frac{18}{5}$．
故答案为：-$\frac{18}{5}$

点评 本题主要考查线性规划的应用，将不等式组进行转化，利用换元法转化为线性规划的知识是解决本题的关键．综合性较强．