Question

15．已知f（x）为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f（x+1）=-f（x），且当x∈[0，1）时，f（x）=log₂（x+1），给出下列命题：
①f（2014）+f（-2015）=0；            
②函数f（x）在定义域上是周期为2的函数；
③直线y=x与函数f（x）的图象有2个交点；
④函数f（x）的值域为（-1，1）．
其中正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根据已知中函数的奇偶性，及当x≥0时，有f（x+1）=-f（x），且当x∈[0，1）时，f（x）=log₂（x+1），画出函数的图象，逐一分析四个结论的真假，可得答案．

解答 解：∵f（x）为定义在R上的偶函数，
且当x≥0时，有f（x+1）=-f（x），
且当x∈[0，1）时，f（x）=log₂（x+1），
故函数f（x）的图象如下图所示：

由图可得：f（2014）+f（-2015）=0+0=0，故①正确；
函数f（x）在定义域上不是周期函数，故②错误；
直线y=x与函数f（x）的图象有1个交点，故③错误；
函数f（x）的值域为（-1，1），故④正确；
故正确的命题序号有：①④
故选：C

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的图象和性质，其中根据已知画出满足条件的函数图象是解答的关键．