Question

10．一个正三棱柱的侧棱垂直于底面，且存在内切球，则该三棱柱的外接球与内切球的表面积之比为5：1．

Answer 1

分析 设正三棱柱底面正三角形的边长为a，当球内切于正三棱柱时，球的半径R₁等于正三棱柱的底面正三角形的边心距，求出正三棱柱的高为，当正三棱柱外接球时，球的球心是正三棱柱高的中点，且球的圆心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，求出外接球的半径，即可求出该三棱柱的外接球与内切球的表面积之比．

解答 解：设正三棱柱底面正三角形的边长为a，
当球外切于正三棱柱时，球的半径R₁等于正三棱柱的底面正三角形的边心距$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，R₁²=$\frac{1}{12}{a}^{2}$，
故正三棱柱的高为$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
当正三棱柱外接球时，球的圆心是正三棱柱高的中点，且球的球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，R₂²=$（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{6}a）^{2}$=$\frac{5}{12}{a}^{2}$，
∴该三棱柱的外接球与内切球表面积之比为$\frac{5}{12}{a}^{2}$：$\frac{1}{12}{a}^{2}$=5：1．
故答案为：5：1．

点评 本题是基础题，考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，是常考题型，求内切球与外接球的半径是本题的关键．